Método de Reducción: Paso a Paso con Ejemplos
El método preferido en los exámenes de Secundaria y Bachillerato. Aprende a multiplicar por factores para crear coeficientes opuestos, sumar verticalmente y anular una incógnita en 30 segundos.
1. ¿En qué consiste el Método de Reducción (Suma y Resta)?
El método de reducción consiste en preparar las ecuaciones multiplicándolas por números convenientes para que una de las incógnitas tenga coeficientes exactamente opuestos (por ejemplo: +6y en una ecuación y -6y en la otra).
Al sumar miembro a miembro ambas ecuaciones, esa incógnita se anula (suma cero) y obtenemos de forma inmediata una ecuación directa de primer grado con la otra variable.
2. ¿Por qué es el Método Rey en los Exámenes?
⚡ La Gran Ventaja de la Reducción:
Con la reducción te olvidas de las fracciones intermedias. Aunque los coeficientes sean números feos como 3, 5 o 7, nunca tienes que despejar fracciones algebraicas pesadas. Es el método más rápido, limpio y con menor probabilidad de fallos de cálculo.
3. Los 5 Pasos para Resolver por Reducción
Paso 1: Decidir qué letra vas a eliminar
Fíjate en las dos variables (x e y). Elige la que tenga los coeficientes más pequeños o la que ya tenga signos contrarios (+ y -).
Paso 2: Multiplicar en cruz para igualar coeficientes opuestos
Multiplica la ecuación (1) por el coeficiente de abajo y la ecuación (2) por el de arriba. Recuerda poner un signo menos a uno de los factores si tenían el mismo signo.
Paso 3: Sumar verticalmente ambas ecuaciones
Suma las columnas: los términos de la variable elegida se cancelan mutuamente (suman 0).
Paso 4: Despejar la incógnita superviviente
Resuelve la sencilla ecuación lineal para obtener el primer número.
Paso 5: Retro-sustituir y comprobar
Sustituye en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar la segunda letra y verifica la solución final.
4. Ejemplos Guiados Paso a Paso
Ejemplo 1 (Directo): Coeficientes ya opuestos
Paso 1 y 2: Observamos que y tiene coeficientes +1 y -1. ¡Ya son opuestos directos!
Paso 3 (Sumar verticalmente):
(3x + 2x) + (y - y) = 11 + 4 ➔ 5x = 15.
Paso 4: x = 15 / 5 = 3.
Paso 5: Sustituimos x = 3 en (1): 3·(3) + y = 11 ➔ 9 + y = 11 ➔ y = 2.
✓ Chequeo de la Solución: (x = 3, y = 2)
• En (1): 3(3) + 2 = 9 + 2 = 11 ✓• En (2): 2(3) – 2 = 6 – 2 = 4 ✓
Ejemplo 2 (El Caso Real): Multiplicación en cruz por dos factores
Paso 1 y 2: Decidimos eliminar y. Sus coeficientes son 3 y 5. Su m.c.m. es 15.
Multiplicamos (1) por 5 y (2) por -3 para que tengan signos opuestos:
• (1) × 5: 10x + 15y = 50
• (2) × (-3): -9x - 15y = -48
Paso 3: Sumamos miembro a miembro:
(10x - 9x) + (15y - 15y) = 50 - 48 ➔ x = 2.
Paso 4 y 5: Sustituimos x = 2 en la primera ecuación original:
2(2) + 3y = 10 ➔ 4 + 3y = 10 ➔ 3y = 6 ➔ y = 2.
✓ Chequeo de la Solución: (x = 2, y = 2)
• En (1): 2(2) + 3(2) = 4 + 6 = 10 ✓• En (2): 3(2) + 5(2) = 6 + 10 = 16 ✓
5. Ejercicios Propuestos para Practicar
Ejercicio 1: Sistema { 5x + 2y = 19 ; 3x – 2y = 5 }
8x = 24 ➔ x = 3.Sustituimos en (1):
5(3) + 2y = 19 ➔ 15 + 2y = 19 ➔ 2y = 4 ➔ y = 2.Solución: (x = 3, y = 2).
Ejercicio 2: Sistema { 4x + 3y = 18 ; 2x + y = 8 }
-4x - 2y = -16.Sumamos con la primera:
(4x - 4x) + (3y - 2y) = 18 - 16 ➔ y = 2.Calculamos x en la segunda:
2x + 2 = 8 ➔ 2x = 6 ➔ x = 3.Solución: (x = 3, y = 2).
Aprende y Compara los 3 Métodos de Resolución
Un buen estudiante de matemáticas domina los tres métodos para elegir siempre el más rápido en el examen:
Método de Sustitución
Aísla una incógnita sencilla y sustitúyela en la otra ecuación. Ideal si hay coeficientes 1 o -1.
Método de Igualación
Despeja la misma letra en las dos ecuaciones e iguálalas frente a frente (y = y).
Método de Reducción
Multiplica para igualar con signos opuestos y suma verticalmente para anular una incógnita.
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