¿Qué es un Vector Unitario?

Un vector unitario es un vector que tiene una longitud (o magnitud) exactamente igual a 1. Esto significa que es un vector de tamaño 1 que señala una dirección específica en el espacio. Los vectores unitarios se utilizan para representar direcciones sin considerar la magnitud original del vector, lo que facilita cálculos y análisis en matemáticas y física.

Cómo Calcular un Vector Unitario Paso a Paso

Para encontrar el unitario \(\mathbf{u}\) de un vector dado \(\mathbf{v}\), sigue estos pasos:

Calcula la magnitud del vector original:\[
\|\mathbf{v}\| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}
\]Donde \( v_1 \), \( v_2 \) y \( v_3 \) son las componentes del vector \( \mathbf{v} \).
Divide cada componente del vector por su magnitud:\[
\mathbf{u} = \frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}
\]

Ejemplo 1:

Dado el vector \( \mathbf{v} = (4,\, 3) \), encuentra su vector de magnitud 1.

Paso 1: Calcula la magnitud de \( \mathbf{v} \):

\[
\|\mathbf{v}\| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
\]

Paso 2: Calcula el vector de magnitud 1 \( \mathbf{u} \):

\[
\mathbf{u} = \frac{1}{5}(4,\, 3) = \left( \frac{4}{5},\, \frac{3}{5} \right)
\]

Ejemplo 2:

Dado el vector \( \mathbf{v} = (-2,\, 2,\, 1) \), determina su vector normalizado.

Paso 1: Calcula la magnitud de \( \mathbf{v} \):

\[
\|\mathbf{v}\| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3
\]

Paso 2: Calcula el vector de longitud 1 \( \mathbf{u} \):

\[
\mathbf{u} = \frac{1}{3}(-2,\, 2,\, 1) = \left( -\frac{2}{3},\, \frac{2}{3},\, \frac{1}{3} \right)
\]

Características de un Vector Unitario

Magnitud Igual a 1: La característica principal es que su longitud es exactamente 1 unidad.
Dirección y Sentido: Mantiene la dirección y sentido del vector original del cual puede derivar.
Normalización: Cualquier vector no nulo puede convertirse en un vector de magnitud 1 mediante el proceso de normalización.
Uso en Bases Ortogonales: Son fundamentales para formar bases ortogonales en espacios vectoriales.

Vector unitario formula

La fórmula para calcular el vector normalizado \(\mathbf{u}\) a partir de un vector dado \(\mathbf{v}\) es:

\[
\mathbf{u} = \frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}
\]

Donde:

\(\mathbf{u}\) es el vector de longitud unitaria resultante.
\(\mathbf{v}\) es el vector original.
\(\|\mathbf{v}\|\) es la magnitud o norma del vector \( \mathbf{v} \), calculada como \( \|\mathbf{v}\| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2} \).

Vector unitario ejemplo

Ejemplo:

Dado el vector \( \mathbf{v} = (3,\, 4) \), encuentra su vector unitario \( \mathbf{u} \).

Paso 1: Calcula la magnitud de \( \mathbf{v} \):

\[
\|\mathbf{v}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]

Paso 2: Calcula el vector de longitud unitaria \( \mathbf{u} \):

\[
\mathbf{u} = \frac{1}{5}(3,\, 4) = \left( \frac{3}{5},\, \frac{4}{5} \right)
\]

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