Ejercicio 1
(1) x + 2y = 9
(2) 3x − y = 5
Método de reducción en sistemas de ecuaciones
Alinea, iguala coeficientes y suma/resta para eliminar variables.
Método de Reducción (suma y resta para resolver)
Método de reducción — explicación breve
Idea: convierte los coeficientes de una variable en opuestos (con multiplicadores pequeños),
suma o resta las ecuaciones para eliminarla, resuelve la otra variable y retro-sustituye.
- Elige la variable a eliminar (la que iguala coeficientes con números más pequeños).
- Iguala los coeficientes en valor absoluto y hazlos opuestos si vas a sumar. (Multiplica toda la ecuación por el factor necesario.)
- Suma o resta para que desaparezca la variable, resuelve la que queda y retro-sustituye para obtener la otra. Comprueba en ambas ecuaciones.
- Úsalo si ya ves
+yy−yo si puedes igualar coeficientes con factores pequeños. - Ojo con los signos y recuerda multiplicar todos los términos al escalar una ecuación.
Ejercicio resuelto (reducción)
Ejercicio resuelto — Método de reducción
(1) 2x + 3y = 10
(2) 3x + 5y = 16
1) Hacer opuestos los coeficientes de y
Elegimos eliminar y. El m.c.m.(3, 5) = 15 ⇒ multiplicamos E1 × 5 y E2 × (−3) para obtener ±15y.
E1 × 5: 10x + 15y = 50
E2 × (−3): −9x − 15y = −48
2) Sumar para eliminar y y resolver x
(10x − 9x) + (15y − 15y) = 50 + (−48)
x = 2
3) Retro-sustituir para hallar y
En (1): 2·2 + 3y = 10 ⇒ 4 + 3y = 10 ⇒ 3y = 6 ⇒ y = 2
Solución
(x, y) = (2, 2)
Chequeo (1)
2·2 + 3·2 = 4 + 6 = 10 ✓
Chequeo (2)
3·2 + 5·2 = 6 + 10 = 16 ✓
Tip: elige la variable que iguala coeficientes con números más pequeños; usa un factor negativo para oponer signos.
Fallos comunes
- Elegir mal la variable a eliminar.
- Signos opuestos mal aplicados al sumar/restar.
- Olvidar dividir por el factor común final.
Practica reducción
Ejercicios propuestos (sustitución)
Ejercicio 2
(1) 2x − 3y = −1
(2) x + y = 8
Ejercicio 3
(1) 4x + y = 11
(2) x − 2y = −1
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Preguntas frecuentes
¿Cuándo conviene reducción?
Cuando puedes igualar coeficientes con multiplicaciones sencillas.
¿Cómo elijo la variable a eliminar?
La que requiera los menores múltiplos para igualar coeficientes.
¿Puedo combinar con sustitución?
Sí, especialmente en 3×3 para reducir primero a 2×2.
¿Qué errores de signo son típicos?
Olvidar cambiar el signo de todos los términos al multiplicar por −1.
¿Cómo comprobar?
Sustituye la solución en las ecuaciones originales.
