Ejercicios de sistemas de ecuaciones resueltos paso a paso [PDF + Explicación]
¿Qué es un sistema de ecuaciones?
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones que comparten variables y deben cumplirse al mismo tiempo. Resolver un sistema significa encontrar el valor de esas variables que hace que todas las ecuaciones sean verdaderas.
Por ejemplo, si tenemos las siguientes dos ecuaciones:
x - y = 2
El objetivo es encontrar qué valores de x e y hacen que ambas se cumplan. En este caso, la solución sería x = 5 y y = 3.
Existen muchos tipos de sistemas, pero los más comunes son los sistemas de ecuaciones lineales, en los que todas las ecuaciones son de primer grado. También existen sistemas no lineales, que pueden incluir exponentes, raíces o productos entre incógnitas.
A lo largo de esta guía verás ejercicios resueltos paso a paso, aprenderás a identificar los distintos tipos de sistemas y descubrirás los métodos más eficaces para resolverlos. Si alguna vez se te han atascado estos problemas... aquí vas a empezar a dominarlos.
Tipos de sistemas de ecuaciones y métodos de resolución
No todos los sistemas de ecuaciones son iguales. Antes de resolver uno, es importante identificar qué tipo de sistema tenemos delante y elegir el método más adecuado.
🔹 Tipos de sistemas según sus soluciones
- Compatible determinado: tiene una única solución.
- Compatible indeterminado: tiene infinitas soluciones.
- Incompatible: no tiene solución.
🔹 Métodos de resolución más utilizados
Elegir el método correcto depende del tipo de sistema y del nivel de dificultad. En los siguientes apartados te mostraremos cómo aplicar cada uno paso a paso con ejercicios resueltos y descargables.
Ejercicios resueltos paso a paso (PDF descargable)
A continuación te mostramos algunos ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones explicados paso a paso. Estos ejemplos te ayudarán a entender cómo aplicar los distintos métodos según el tipo de sistema.
📘 Ejercicio 1 – Método de sustitución
x - y = 4
Paso 1: Despejamos x en la segunda ecuación → x = y + 4
Paso 2: Sustituimos en la primera: (y + 4) + y = 10 → 2y + 4 = 10 → y = 3
Paso 3: Sustituimos y en x = y + 4 → x = 7
Solución: x = 7, y = 3 ✅
📘 Ejercicio 2 – Método de igualación
x = 4 - y
Paso 1: Sustituimos x en la primera ecuación: 2(4 - y) + 3y = 12 → 8 - 2y + 3y = 12
Paso 2: Simplificamos: y = 4 → x = 4 - 4 = 0
Solución: x = 0, y = 4 ✅
📘 Ejercicio 3 – Método de reducción
-3x + y = -1
Paso 1: Sumamos las ecuaciones: (3x - 3x) + (2y + y) = 16 + (-1) → 3y = 15 → y = 5
Paso 2: Sustituimos en la primera: 3x + 2·5 = 16 → 3x = 6 → x = 2
Solución: x = 2, y = 5 ✅
Incluye soluciones y espacio para practicar por tu cuenta ✍️
Ejercicios por nivel educativo (2º, 3º y 4º ESO)
A continuación te dejamos algunos ejercicios orientados a distintos niveles de la ESO. Cada uno de ellos está adaptado a los contenidos que normalmente se trabajan en ese curso, y puedes usarlos tanto para repasar como para practicar en casa.
📘 2º ESO – Sistemas sencillos con sumas y restas
x - y = 1
Ideal para practicar los conceptos básicos: planteamiento, sustitución e igualación sin fracciones ni decimales.
📘 3º ESO – Coeficientes con fracciones y reducción
x - 2y = 1
En este nivel ya se introducen sistemas con fracciones, decimales o pasos intermedios más largos. Requiere más atención al detalle.
📘 4º ESO – Sistemas con parámetros y casos especiales
3x - y = b
Aquí se trabaja con sistemas dependientes de parámetros, análisis de compatibilidad (una, ninguna o infinitas soluciones) y métodos avanzados como Gauss o matrices.
Si lo prefieres, también puedes acceder a todos estos ejercicios organizados por curso en formato PDF o integrados en nuestras clases online desde el campus virtual.
Casos especiales y errores comunes
A veces, los sistemas de ecuaciones no tienen una única solución. Y otras veces, cometemos errores al resolverlos que nos llevan a resultados incorrectos. Aquí te explicamos los casos especiales más frecuentes y los errores típicos que deberías evitar.
⚠️ Sistemas sin solución (incompatibles)
x + y = 7
Este sistema no tiene solución porque ambas ecuaciones son paralelas: no hay ningún valor de x e y que cumpla las dos a la vez. Se dice que es incompatible.
♾️ Sistemas con infinitas soluciones (compatibles indeterminados)
x + 2y = 3
En este caso, las dos ecuaciones representan la misma recta. Por tanto, cualquier punto de esa recta será solución del sistema. Hay infinitas soluciones.
❌ Errores más comunes al resolver sistemas
- Olvidar cambiar el signo al pasar términos al otro lado.
- Cometer errores al operar con fracciones o negativos.
- Aplicar mal el método de reducción (sumar en vez de restar, por ejemplo).
- No comprobar si el sistema tiene solución antes de aplicar un método.
- Despejar mal una variable y propagar el error en todos los pasos.
Recuerda: resolver bien un sistema no solo es cuestión de aplicar un método, sino de entender qué significa cada paso. Si algo no cuadra, es probable que el sistema sea especial… o que haya un pequeño error que puedes detectar con calma.
